Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为线段BC₁的中点，E为线段A₁C₁上的动点，则下列结论事正确的为（ ）

A．存在点E使EF∥BD₁
B．不存在点E使EF⊥平面AB₁C₁D
C．EF与AD₁所成的角不可能等于90°
D．三棱锥B₁-ACE的体积为定值

Answer 1

【答案】分析：根据E，F在平面A₁BC₁内，BD₁∩平面A₁BC₁=B，故不存在点E使EF∥BD₁；当E为A₁C₁的中点时，取B₁C₁的中点G，连接EG，FG，则可知存在点E使EF⊥平面AB₁C₁D；当E为点A₁时，可得EF⊥BC₁从而可知EF与AD₁所成的角可能等于90°；利用等体积转换，三棱锥B₁-ACE的体积等于三棱锥E-B₁AC的体积，说明三棱锥E-B₁AC的体积为定值即可．
解答：解：对于A，∵E，F在平面A₁BC₁内，BD₁∩平面A₁BC₁=B，∴不存在点E使EF∥BD₁，故A不正确；
对于B，当E为A₁C₁的中点时，取B₁C₁的中点G，连接EG，FG，则利用三角形的中位线，可知EF⊥B₁C₁，EF⊥A₁B，∴存在点E使EF⊥平面AB₁C₁D，故B不正确；
对于C，当E为点A₁时，∵A₁B=A₁C₁，F为线段BC₁的中点，∴EF⊥BC₁，∵AD₁∥BC₁，∴EF与AD₁所成的角可能等于90°，故C不正确；
对于D，三棱锥B₁-ACE的体积等于三棱锥E-B₁AC的体积，由于A₁C₁∥平面B₁AC，所以E到平面B₁AC的距离处处相等，又由于△B₁AC的面积w为定值，所以三棱锥E-B₁AC的体积为定值，所以三棱锥B₁-ACE的体积为定值，故D正确
故选D．
点评：本题考查棱柱的结构特征，命题真假的判定，涉及线面平行、线面垂直、线线角、体积等，解题时要谨慎．