Question

15．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线过点（2，$\sqrt{21}$），则此双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线，建立a，b的关系，结合双曲线离心率的公式进行求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$±\frac{b}{a}$x，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线过点（2，$\sqrt{21}$），
∴（2，$\sqrt{21}$）在y=$\frac{b}{a}$x上，即$\frac{2b}{a}$=$\sqrt{21}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{21}{4}}$=$\frac{5}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点与渐近线的关系求出a，b的关系是解决本题的关键．