Question

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，顶点A₁在底面ABC内的射影恰好是AB的中点O，且AB=BC=2．OA₁=2，
（1）求证：平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求直线A₁C与平面ABC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据A₁O⊥平面ABC可得A₁O⊥BC，结合AB⊥BC即可得出BC⊥平面ABB₁A₁，于是平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）由A₁O⊥平面ABC可知∠A₁CO是直线A₁C与平面ABC所成的角，计算OC，A₁C，从而得出cos∠A₁CO．

解答 （1）证明：∵A₁O⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁O⊥BC，
又BC⊥AB，A₁O∩AB=O，A₁O?平面ABB₁A₁，
AB?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
又BC?平面BCC₁B₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：∵A₁O⊥平面ABC，
∴∠A₁CO是直线A₁C与平面ABC所成的角，
∵OB=$\frac{1}{2}$AB=1，BC=2，AB⊥BC，
∴OC=$\sqrt{5}$，
又A₁O=2，∴A₁C=3，
∴cos∠A₁CO=$\frac{OC}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．