【题目】已知椭圆 ,其左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为 ,点R的坐标为 ,又点F2在线段RF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1 , A2 , 点P在直线 上(点P不在x轴上),直线PA1 , PA2与椭圆C分别交于不同的两点M,N,线段MN的中点为Q,若|MN|=λ|A1Q|,求λ.
【答案】
(1)
解:∵e= ,∴ ,
∵F2(c,0)在PF1的中垂线上,
∴|F1F2|=|RF2|,(2c)2= 2+(2 ﹣c)2,解得c=2,∴a2=3,b2=1.
∴椭圆C的方程为 +y2=1.
(2)
解:证明:由(Ⅰ)知A1(﹣ ,0),A2( ,0),
设PA1的方程为y=k(x+ )(k≠0),则P坐标(﹣2 ,﹣ k),
∴k = ,∴PA2方程为y= (x﹣ ),
联立方程组 ,消元得(3+k2)x2﹣2 k2x+3k2﹣9=0,
解得N( ,﹣ ),
∴k =﹣ ,∴A1M⊥A1N,
∴三角形MNA1为直角三角形,又Q为斜边中点,
∴|MN|=2|A1Q|,即λ=2.
【解析】(1)根据|F1F2|=|RF2|列方程解出c,从而得出a,b求出椭圆方程;(2)设PA1的方程为y=k(x+ )(k≠0),求出PA2方程,与椭圆方程联立求出N点坐标,通过计算斜率可得A1N⊥A1M,从而得出|MN|=2|A1Q|.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.
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【题目】某学校有高一、高二、高三三个年级,已知高一、高二、高三的学生数之比为2:3;5,现从该学校中抽取一个容量为100的样本,从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时,学生甲被抽到的概率为 ,则该学校学生的总数为( )
A.200
B.400
C.500
D.1000
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【题目】某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查,随机抽取100名市民,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:
分组(岁) | 频数 |
[25,30) | x |
[30,35) | y |
[35,40) | 35 |
[40,45) | 30 |
[45,50] | 10 |
合计 | 100 |
(Ⅰ)求频率分布表中x、y的值,并补全频率分布直方图;
(Ⅱ)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查,现从这20人重随机抽取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X,求X的分布列及数学期望.
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【题目】已知双曲线 的左右焦点分别为F1 , F2 , 过右焦点F2的直线交双曲线于A,B两点,连接AF1 , BF1 . 若|AB|=|BF1|,且∠ABF1=90°,则双曲线的离心率为 .
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【题目】等差数列{an}中,已知a3=5,且a1 , a2 , a5为递增的等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}的通项公式 (k∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问,米几何?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=1.5(单位:升),则输入k的值为( )
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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【题目】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列,数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)= (a≠0).
(1)试讨论y=f(x)的极值;
(2)若a>0,设g(x)=x2emx , 且任意的x1 , x2∈[0,2],f(x1)﹣g(x2)≥﹣1恒成立,求m的取值范围.
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