Question

【题目】设抛物线： （）的焦点为，准线为， ，且在第一象限，已知以为圆心， 为半径的圆交于， 两点（在的上方），为坐标原点．

（1）若是边长为的等边三角形，且直线： （）与抛物线相交于， 两点，证明： 为定值；

（2）记直线与抛物线的另一个交点为，若与的面积比为3，证明：直线过点．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据是边长为的等边三角形，可得，写出抛物线的方程，利用直线和抛物线相交，联立方程，根据根与系数的关系得，计算，根据得证；（2）过作于，过作于，设， ，根据条件，由得可得，从而，即则与重合，所以，则直线过点.

试题解析：

（1）∵，

∴，抛物线的方程为．

由得，

设， ，则，

∴，

∴，

∴为定值．

（2）与的面积比为．

过作于，过作于，设， ，

则， ，

由得，则，∴，

∴，

故直线的倾斜角为，易知，所以以为圆心， 为半径的圆过点，则与重合，所以，则直线过点．