Question

10．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的左焦点F₁作倾斜角$\frac{π}{4}$为的线直线交椭圆于A，B两点，F₂是右焦点，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析 首先根据已知条件建立方程组，通过韦达定理结合，利用弦长公式，求出|AB|．通过点到直线的距离求解三角形的高，然后求解三角形的面积．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的左焦点F₁（-1，0），倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l的斜率为：k=1
则：直线l的方程为：y=x+1，组成方程组：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ y=x+1\end{array}\right.$，消去y可得：3x²+4x=0，
设A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），解得x₁=0，x₂=-$\frac{4}{3}$，
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
F₂（1，0）到直线AB的距离为：d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$
${S}_{{△ABF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{2}}{3}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．
△ABF₂的面积：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的知识要点：点斜式直线方程，弦长公式的应用，点到直线的距离及相关的运算问题．