Question

(理)设a₁,a₂,…,a₂₀是首项为1,公比为2的等比数列.对于满足0≤k≤19的整数k,数列b₁,b₂,…,b₂₀由b_n=确定.记M=.

(1)当k=1时,求M的值;

(2)求M的最小值及相应的k的值.

(文)设数列{a_n}的首项a₁=a(a∈R),且a_n+1=n=1,2,3,….

(1)若0＜a＜1,求a₂、a₃、a₄、a₅;

(2)若0＜a_n＜4,证明0＜a_n+1＜4;

(3)若0＜a≤2,求所有的正整数k,使得对于任意n∈N^*,均有a_n+k=a_n成立.

Answer 1

答案：(理)解：(1)显然a_n=2^n-1,其中1≤n≤20.

当k=1时,b_n=.

所以,

.

(2)M=

 

=(^40-k-2^k)+(2^20+k-2^20-k)

=.

当2^k=,即k=10时,M=.

所以M的最小值为,此时k=10.

(文)(1)解：因为a₁=a∈(0,1),所以a₂=-a₁+4=-a+4,且a₂∈(3,4).所以a₃=a₂-3=-a+1,且a₃∈(0,1).所以a₄=-a₃+4=a+3,且a₄∈(3,4).所以a₅=a₄-3=a.

(2)证明:①当0＜a_n≤3时,a_n+1=-a_n+4,所以1≤a_n+1＜4.

②当3＜a_n＜4时,a_n+1=a_n-3,所以0＜a_n+1＜1.综上,0＜a_n＜4时,0＜a_n+1＜4.

(3)解：①若0＜a＜1,由(1),知a₅=a₁,所以k=4;因此,当k=4m(m∈N^*)时,对所有的n∈N^*,a_n+k=a_n成立.

②若1≤a＜2,则a₂=-a+4,且a₂∈(2,3],a₃=-a₂+4=-(-a+4)+4=a=a₁,所以k=2;因此,当k=2m(m∈N^*)时,对所有的n∈N^*,a_n+k=a_n成立.

③若a=2,则a₂=a₃=a₄=…,所以k=1.因此,当k=m(m∈N^*)时,对所有的n∈N^*,a_n+k=a_n成立.

综上,若0＜a＜1,则k=4m;若1≤a＜2,则k=2m;若a=2,则k=m(m∈N^*).