Question

17．己知集合A={a²，a+1，-3}，B={a-3，a²+1，2a-1}，C={x|x²-bx+12=0}，若A∩B={-3}．
（1）求实数a的值．
（2）若B∩C=C，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据集合和元素的关系，以及交集的定义即可求出a的值，
（2）分类讨论方程的解得个数，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）集合A={a²，a+1，-3}，B={a-3，a²+1，2a-1}，A∩B={-3}．
当a-3=-3时，即a=0时，A={0，1，-3}，B={-3，1，-1}，此时A∩B={-3，1}，不适合题意，
当2a-1=-3时，即a=-1时，A={1，0，-3}，B={-4，2，-3}，此时A∩B={-3}，适合题意，
故a=-1，
（2）由（1）知，B={-4，2，-3}，
当△=b²-48＜0，即-4$\sqrt{3}$＜b＜4$\sqrt{3}$时，C=∅，满足B∩C=C，
当△=b²-48=0，b=±4$\sqrt{3}$时，方程有两个相等的实数根，此时C={2$\sqrt{3}$}或{-2$\sqrt{3}$}，不满足B∩C=C，
当△=b²-48＞0，b＞4$\sqrt{3}$或b＜-4$\sqrt{3}$时，方程有两个相等的实数根，
∵B∩C=C，
∴当-4和2是方程x²-bx+12=0两根，即b=-4+2=-2，舍去，
当-4和-3是方程x²-bx+12=0两根，即b=-4-3=-7，
当2和-3是方程x²-bx+12=0两根，即b=2-3=-1，舍去，
综上所述a的取值范围为（-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$）∪{-7}

点评 本题考查了集合元素的特征，以及交集的定义和一元二次方程的根的问题，属于中档题．