Question

8．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，则以下结论正确的是（　　）

• A． tanA•cotB=1
• B． 1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$
• C． sin²A+cos²B=1
• D． cos²A+cos²B=sin²C

Answer 1

分析 由已知式子变形可得A+B=90°，然后逐个选项判定即可得答案．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°．
则tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，A不正确；
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
∵45°＜A+45°＜135°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，B不正确；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，D正确；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故C不正确．
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，考查三角函数中的恒等变换应用，属基础题．