Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命题：
①函数y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）；
②函数y=f（x）的最小正周期为2π；
③函数y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
④函数 y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称；
⑤若f（x₁）=f（x₂）=0，则必有：x₁-x₂=

kπ

2

，k∈Z．
其中正确的是

①③⑤

（填序号，多填漏填均不给分）

Answer 1

分析：对①利用诱导公式sin（x+

π

2

）=cosx 验证即可；
根据f（x）=4sin（2x+

π

3

）的最小正周期是π判断②是否正确；
令x=-

π

6

，计算2x+

π

3

的值来验证③④是否正确；
根据正弦函数的图象特征判断⑤是否正确．

解答：解：∵4cos（2x-

π

6

）=4sin（

π

2

+2x-

π

6

）=4sin（2x+

π

3

），∴①√；
∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），的最小正周期是π，∴②×；
∵x=-

π

6

，2x+

π

3

=0，∴点（-

π

6

，0）是对称中心，∴③√；
∵x=-

π

6

，2x+

π

3

=0，∴线x=-

π

6

不是对称轴，∴④×；
∵函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），的最小正周期是π，∴|x₁-x₂|最小为

π

2

，∴⑤√；
故答案是①③⑤

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，它的最小正周期T=

2π

|ω|

；值域是[-A，A]，对称轴方程x，满足ωx+φ=kπ+

π

2

；对称中心横坐标x，满足ωx+φ=kπ，k∈Z．