Question

若f（x）满足x²f′（x）-2xf（x）=x³e^x，f（2）=-2e²．则x＞0时，f（x）（　　）

• A、有极大值，无极小值
• B、有极小值，无极大值
• C、既有极大值，又有极小值
• D、既无极大值，也无极小值

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据题意，利用导数的运算法则，构造函数F（x），确定函数f（x）的解析式，求出f′（x）=0的点，从而确定它是极小值点．

解答： 解：∵x²f′（x）-2xf（x）=x³e^x，
设F（x）=

f(x)

x2

，
∴F′（x）=

x2f′(x)-2xf(x)

x4

=

x3ex

x4

=

ex

x

；
∴x²f′（x）=x³e^x+2xf（x）=x³e^x+2x³F（x），
∴f′（x）=xe^x+2xF（x）；
∴f′（2）=2e²+2×2F（2）=2e²+4×（-

1

2

e²）=0，
∴x=2是函数f（x）的一个极值点；
设g（x）=f′（x）=xe^x+2xF（x），
∴g′（x）=e^x+xe^x+2F（x）+2xF′（x）
=e^x+xe^x+2F（x）+2x•

ex

x

=3e^x+xe^x+2F（x），
∴g′（2）=3e²+2e²+2×（-

1

2

）e²=4e²＞0，
x=2是函数f（x）的极小值点；
∴x＞0时，f（x）有极小值，无极大值．
故选：B．

点评：本题考查了函数导数的综合应用问题，解题时利用导数的运算法则，适当地构造函数，利用导数求出函数的极值点，是难题．