Question

8．若不等式x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x-5y+10≤0}\\{x+y-8≤0}\end{array}\right.$，则z=|x-4|+2y的最小值为（　　）

• A． $\frac{28}{5}$
• B． $\frac{26}{3}$
• C． $\frac{24}{5}$
• D． $\frac{22}{3}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．

解答 解：当x≥4得z=x-4+2y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+4}{2}$，
当x≤4得z=-（x-4）+2y得y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-4}{2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
当x≥4时，平移y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+4}{2}$，由图象知当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z+4}{2}$经过点D时，直线的截距最小，同时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{x-5y+10=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，即D（4，$\frac{14}{5}$），此时z=|4-4|+2×$\frac{14}{5}$=$\frac{28}{5}$
当x≤4平移y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-4}{2}$，
由图象知当直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z-4}{2}$，
经过点D时，直线的截距最小，同时z最小，
此时z=|4-4|+2×$\frac{14}{5}$=$\frac{28}{5}$，
综上z=|x-4|+2y的最小值为$\frac{28}{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．