Question

3．已知正实数a，b满足2a+b+4=4ab．若（2a+b）x²+abx-6≥0总成立，则正实数x的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 a，b＞0，2a+b=ab-4＞0，利用基本不等式的性质可得：$\sqrt{2ab}$≥2，把2a+b=4ab-4代入（2a+b）x²+abx-6≥0，x＞0，可得：（ab）_min≥$\frac{6+{4x}^{2}}{{x}^{2}+x}$，解出即可得出．

解答 解：∵a，b＞0，∴2a+b=4ab-4＞0，
∴4ab-4=2a+b≥2$\sqrt{2ab}$
∴2ab-$\sqrt{2ab}$-2≥0，即（$\sqrt{2ab}$-2）（$\sqrt{2ab}$+1）≥0，
解得：$\sqrt{2ab}$≥2，
∴ab≥2，当且仅当2a=b=$\sqrt{2}$时取等号．
把2a+b=4ab-4代入（2a+b）x²+abx-6≥0，x＞0，
可得：（4ab-4）x²+abx-6≥0，
即ab（4x²+x）≥4x²+6（恒成立），又x＞0，
∴（ab）_min≥$\frac{{4x}^{2}+6}{{4x}^{2}+x}$，
∴2≥$\frac{{4x}^{2}+6}{{4x}^{2}+x}$，解得x≥1，
故答案为：x∈[1，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．