Question

15．设函数f（x）=e^ax（a∈R）．
（I）当a=-2时，求函数g（x）=x²f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；
（Ⅱ）若函数h（x）=$\frac{{x}^{2}}{f（x）}$-1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=-2时，利用导数求出函数g（x）在区间（0，+∞）内的最大值即可；
（Ⅱ）根据题意，求出函数h（x）的导数h′（x），则h（x）在（0，16）内有两个零点，根据h（x）在（0，16）的最值列出不等式组，从而求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，函数f（x）=e^-2x，
∴函数g（x）=x²e^-2x，
∴g′（x）=2xe^-2x+x²e^-2x•（-2）=2x（1-x）e^-2x，
令g′（x）=0，解得x=0或x=1；
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数；
∴在区间（0，+∞）内g（x）的最大值是g（1）=e^-2；
（Ⅱ）∵函数h（x）=$\frac{{x}^{2}}{f（x）}$-1=x²e^-ax-1，
∴h′（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x），
令h′（x）=0，∵e^-ax＞0，
∴-ax²+2x=0，解得x=0或x=$\frac{2}{a}$（a≠0）；
又h（x）在（0，16）内有两个零点，
∴h（x）在（0，16）内不是单调函数；
∴$\frac{2}{a}$∈（0，16），解得a＞$\frac{1}{8}$①；
又x∈（0，$\frac{2}{a}$）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
x∈（$\frac{2}{a}$，16）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
∴在（0，16）上h_max（x）=h（$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{{a}^{2}}$e^-2-1；
令$\frac{4}{{a}^{2}}$e^-2-1＞0，解得-$\frac{2}{e}$＜a＜$\frac{2}{e}$②；
又$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＜0}\\{h（16）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜0}\\{25{6e}^{-16a}-1＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{1}{2}$ln2③；
由①②③组成不等式组，解得$\frac{1}{2}$ln2＜a＜$\frac{2}{e}$；
∴实数a的取值范围是$\frac{1}{2}$ln2＜a＜$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了函数的性质与导数的综合应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．