Question

6．有以下命题：
①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1没有极值点，则-2＜a＜4；
②集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=-4i；
③若函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有两个零点，则m＜$\frac{1}{e}$．
其中正确的是②．

Answer 1

分析 ①求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系进行求解判断．
②根据集合的基本运算进行判断即可．
③利用函数与方程之间的关系，构造函数求函数的导数判断函数的极值．

解答 解：①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1，
则f′（x）=3x²+2（a-1）x+3，
若f（x）没有极值点，则△≤0，
即4（a-1）²-36≤0，
即（a-1）²≤9，
得-3≤a-1≤3，则-2≤a≤4，故①错误，
②集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，
则zi=4，则z=$\frac{4}{i}$=-4i；故②正确，
③若函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有两个零点，则f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m=0，即$\frac{lnx}{x}$=m有两个根，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$则g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得1-lnx＞0得0＜x＜e，
g′（x）＜0得1-lnx＜0得x＞e，
即当x=e时，函数f（x）取得极大值g（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
当x＞e时，g（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0，
则若$\frac{lnx}{x}$=m有两个根，
则0＜m＜$\frac{1}{e}$．故③错误，
故答案为：②

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．