Question

18．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f（f（x）-$\frac{1}{x}$）=2，则f（x）=1+$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）-$\frac{1}{x}$为定值，设为t，代入求得t的值，从而求得函数f（x）的解析式．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f（f（x）-$\frac{1}{x}$）=2，
又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
所以f（x）-$\frac{1}{x}$为定值，
设t=f（x）-$\frac{1}{x}$，则f（x）=t+$\frac{1}{x}$，
又由f（t）=2，可得t+$\frac{1}{t}$=2，
解得t=1，
所以f（x）=1+$\frac{1}{x}$．
故答案为：1+$\frac{1}{x}$．

点评 本题考查了函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．