Question

8．已知sin2x+cos2x=$\frac{1}{5}$（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），则tan2x+$\frac{3}{tan2x}$=$-\frac{43}{12}$．

Answer 1

分析 把sin2x+cos2x=$\frac{1}{5}$平方求出，可得2sin2xcos2x＜0，根据x的范围进一步判断2x为钝角，可得 sin2x-cos2x的值，解方程组求得 sin2x和cos2x，即可得到tan2x．即可求解表达式的值．

解答 解：∵sin2x+cos2x=$\frac{1}{5}$（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），可得2x∈（0，π），
∴1+2sin2xcos2x=$\frac{1}{25}$，∴2sin2xcos2x=-$\frac{24}{25}$＜0，∴2x为钝角．
∴sin2x-cos2x=$\sqrt{（sin2x+cos2x）^{2}-4sin2xcos2x}$=$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{48}{25}}$=$\frac{7}{5}$，
∴sin2x=$\frac{4}{5}$，cosx=-$\frac{3}{5}$，tan2x=$\frac{sin2x}{cos2x}$=-$\frac{4}{3}$，
tan2x+$\frac{3}{tan2x}$=$-\frac{4}{3}$+$\frac{3}{-\frac{4}{3}}$=$-\frac{43}{12}$．
故答案为：$-\frac{43}{12}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求出sin2x-cos2x的值，是解题的关键，属于中档题．