Question

15．已知函数f（x）=1+2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（A）=3，b+c=$\sqrt{3}$a，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）首先将三角函数式整理化简为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，求增区间需令ωx+φ∈[-$\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ$]，解出x的范围，
（2）判断三角形形状一般转化为三边或三角的关系，本题中可以容易求得A角，因此可将边通过正弦定理转化为角，求出三角判断形状．

解答 解：（1）f（x）=1+2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x
=$1+\sqrt{3}sin2x+1+cos2x$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）+2$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
∴函数f（x）的递增区间是[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z；
（2）由题意得：由f（A）=3，得$2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$=3，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，则A=$\frac{π}{3}$或A=0（舍去），
由b+c=$\sqrt{3}$a，得sinB+sinC=$\sqrt{3}sin\frac{π}{3}=\frac{3}{2}$，
∴sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）=$\frac{3}{2}$，
则$\frac{3}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=\frac{3}{2}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$或B=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{2}$或C=$\frac{π}{6}$．
故△ABC是直角三角形．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型三角函数的图象和性质，考查三角形形状得判断，考查正弦定理的应用，是中档题．