Question

20．函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2016}$图象的对称中心是（-1008.5，0）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，构造函数f（x-1008.5），判断函数的奇偶性，结合函数图象的变化关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2016}$，
∴f（x-1008.5）=$\frac{1}{x-1007.5}$+$\frac{1}{x-1006.5}$+…+$\frac{1}{x+1007.5}$，
设g（x）=f（x-1008.5）=$\frac{1}{x-1007.5}$+$\frac{1}{x-1006.5}$+…+$\frac{1}{x+1007.5}$，
则g（-x）=-（$\frac{1}{x-1007.5}$+$\frac{1}{x-1006.5}$+…+$\frac{1}{x+1007.5}$）=-g（x），
即g（x）是奇函数，
则g（x）关于原点对称，
则f（x）=g（x+1008.5），
则将g（x）沿着x轴，向左平移1008.5个单位，此时函数为f（x），图象关于（-1008.5，0）对称，
故函数f（x）的对称中心为（-1008.5，0）．
故答案为：（-1008.5，0）．

点评 本题主要考查函数对称中心的求解，利用函数奇偶性的性质，构造一个奇函数是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．