Question

10．已知cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$，求cos（α-β）和cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$⇒cos²α+cos²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{4}$①，sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$⇒sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$②，①+②从而可得cos（α-β）的值，由②-①，利用二倍角公式，两角和的余弦函数公式，和差化积公式及cos（α-β）的值即可化简求值．

解答 解：∵cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，
∴cos²α+cos²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{4}$；①
又sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$，
∴sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$；②
①+②得：2-2cos（α-β）=$\frac{13}{36}$，
∴cos（α-β）=$\frac{59}{72}$．
由②-①可得：
sin²α-cos²α+sin²β-cos²β-2sinαsinβ+2cosαcosβ=-$\frac{5}{36}$，
⇒-（cos2α+os2β）+2cos（α+β）=-$\frac{5}{36}$，
⇒-2cos（α+β）cos（α-β）+2cos（α+β）=-$\frac{5}{36}$，
⇒cos（α+β）[2-2cos（α-β）]=-$\frac{5}{36}$，
⇒cos（α+β）（2-2×$\frac{59}{72}$）=-$\frac{5}{36}$，
⇒cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数的求值中的应用，着重考查两角和与差的余弦函数，考查“平方关系”的应用，考查运算求解能力和转化思想，属于中档题．