Question

5．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=3，a₂是方程x²-5x-6=0的根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由于a₂是方程x²-5x-6=0的根，a₂＞0，a₂=6．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（3×{2}^{n-1}-1）（3×{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3×{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由方程x²-5x-6=0，解得x=6，-1．
∵a₂是方程x²-5x-6=0的根，a₂＞0，a₂=6．
∴等比数列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴a_n=3×2^n-1．
（2）c_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（3×{2}^{n-1}-1）（3×{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3×{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）$，
∴数列{c_n}的前n项和=$\frac{1}{3}$$[（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{3×2-1}）$+$（\frac{1}{3×2-1}-\frac{1}{3×{2}^{2}-1}）$+…+$（\frac{1}{3×{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3×{2}^{n}-1}）$．
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{9×{2}^{n}-3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．