Question

15．关于平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，有下列四个命题：
①若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b，\overrightarrow a≠0$，则存在λ∈R，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$；
②若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，则$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$；
③存在不全为零的实数λ，μ使得$\overrightarrow c=λ\overrightarrow a+μ\overrightarrow b$；
④若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow a•\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$．
其中正确的命题是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 根据共线向量基本定理，向量数量积的计算公式，平面向量基本定理，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件便可判断出每个命题的正误，从而找出正确命题的序号．

解答 解：①根据共线向量基本定理知该命题正确；
②$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，∴可能cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，而$|\overrightarrow{a}|≠0，|\overrightarrow{b}|≠0$；
即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}，\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$，∴该命题错误；
③当$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线时，便不存在不全为0的实数λ，μ使得$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$，∴该命题错误；
④若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=0$；
∴$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$，∴该命题正确；
∴正确的命题是①④．
故选：B．

点评 考查共线向量基本定理，向量数量积的运算及计算公式，平面向量基本定理，以及向量垂直的充要条件．