Question

17．已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 把$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$看成（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1的形式，把“1”换成a+b，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（a+b）
=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$=9，
等号成立的条件为$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$，
所以$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换．