Question

6．在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA=EF[已知若$\overrightarrow{a}$=（x，y），则|$\overrightarrow{a}$|²=x²+y²]．

Answer 1

分析 以B为原点、BC为x轴建立如图直角坐标系，设正方形的边长为1，且BE=x，可得A、B、E、F、P各点的坐标，从而得到$\overrightarrow{AP}$=（x，x-1），$\overrightarrow{EF}$=（1-x，x），根据向量模的定义，即可证明．得出．

解答 解：以B为原点、BC为x轴，建立直角坐标系，如图所示
设正方形的边长为1，且BE=x，可得B（0，0），E（x，0），F（1，x），
P（x，x），A（0，1），
可得$\overrightarrow{AP}$=（x，x-1），$\overrightarrow{EF}$=（1-x，x），
∴|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{{x}^{2}+（x-1）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}$，|$\overrightarrow{EF}$|=$\sqrt{（1-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|=|$\overrightarrow{EF}$|，
∴PA=EF．

点评 本题考查了向量的坐标运算、模的计算公式、向量垂直与数量积运算之间的关系，考查了计算能力，属于中档题．