Question

14．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x-a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a²+b²+c²$≥\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴f（x）=|x-a|+|x+b|+c≥|x-a-x-b|+c=a+b+c，
当且仅当（x-a）（x-b）≤0时：“=”成立，
故a+b+c=1；
（2）3（a²+b²+c²）-1²
=3（a²+b²+c²）-（a+b+c）²
=2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac
=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，
∴a²+b²+c²$≥\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式、因式分解法等基础知识，考查运算能力，属于中档题．