Question

2．已知函数f（x）=|x-m|-|x-4|．
（1）若m=2，求关于x的不等式f（x）+|x-2|＜2的解集A；
（2）设集合C={x|-2＜x＜$\frac{10}{3}$}，函数f（x）的值域为B，且B⊆C，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=2代入f（x）的表达式，通过讨论x的范围，求出不等式的解集A即可；（2）通过讨论m＞4，m=4，m＜4，得到f（x）的值域，解关于m的不等式组，求出m的范围即可．

解答 解：（1）m=2时，f（x）+|x-2|＜2，即2|x-2|-|x-4＜2，
x≥4时，2（x-2）-（x-4）＜2，解得：x＜2，不合题意，舍，
2＜x＜4时，2（x-2）+（x-4）＜2，解得：2＜x＜$\frac{10}{3}$，
x≤2时，2（2-x）+（x-4）＜2，解得：-2＜x≤2，
综上，-2＜x＜$\frac{10}{3}$，
故A=（-2，$\frac{10}{3}$）；
（2）f（x）=|x-m|-|x-4|，
m＞4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-m，x≥m}\\{-2x+m+4，4＜x＜m}\\{m-4，x≤4}\end{array}\right.$，
故m＞4时，B=[4-m，m-4]，
由集合C={x|-2＜x＜$\frac{10}{3}$}，函数f（x）的值域为B，且B⊆C，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4-m＞-2}\\{m-4＜\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，解得：4＜m＜6，
m=4时，f（x）=0，显然B⊆C，符合题意，
m＜4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-m，x≥4}\\{2x-m-4，m＜x＜4}\\{m-4，x≤m}\end{array}\right.$，
故m＜4时，f（x）的值域B=[m-4，4-m]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-4＞-2}\\{4-m＜\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，解得：2＜m＜4，
综上，2＜m＜6．

点评 不同考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．