Question

4．已知△ABC是一个圆锥的底面圆的内接三角形，AB=3，∠ACB=60°，母线与底面所成角的余弦值为$\frac{3}{5}$，则该圆锥的体积为（　　）

• A． 8π
• B． 5π
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$π
• D． 4$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 使用正弦定理求出圆锥底面半径，根据母线与底面所成角的大小求出圆锥的高，代入公式计算．

解答 解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，
则由正弦定理得2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2$\sqrt{3}$．
∴r=$\sqrt{3}$．
∵母线与底面所成角的余弦值为$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{r}{l}=\frac{3}{5}$，
∴l=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
∴圆锥的高h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴圆锥的体积V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π•3•\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了正弦定理，圆锥的结构特征和体积计算，属于中档题．