Question

14．如图，扇形MON的半径为2，圆心角为$\frac{2}{3}$π，四边形ABCD为扇形的内接等腰梯形，其中底边AB的两个端点分别在半径ON和0M上，C、D在弧$\widehat{MQN}$上，Q为弧$\widehat{MN}$的中点，∠ABC=$\frac{2}{3}$π，求梯形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 设OB=2x，（0＜x＜2），根据三角函数的关系式，分别求出梯形的上底，下底和高，利用换元法，结合三角函数的辅助角公式转化为三角函数，利用三角函数的最值问题进行求解即可．

解答 解：设OB=2x，（0＜x＜2），
则OE=x，BE=$\sqrt{3}$x，
在△OBC中，OB=2x，OC=2，∠OBC=$\frac{5π}{6}$
cos$\frac{5π}{6}$=$\frac{O{B}^{2}+B{C}^{2}-O{C}^{2}}{2OB•BC}$，得BC=$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}x$，
∵∠CBG=$\frac{π}{6}$，∴CG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}x$），
BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}x$），FC=BE+CG=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}+\sqrt{3}x}{2}$，
S=$\frac{\sqrt{3}}{4}（\sqrt{4-{x}^{2}}+3\sqrt{3}x）（\sqrt{4-{x}^{2}}-\sqrt{3}x）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（4-10{x}^{2}+2\sqrt{3}x•\sqrt{4-{x}^{2}}）$，
令x=2sinα，0＜α＜$\frac{π}{2}$，
则S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-40sin²α+4$\sqrt{3}$sinα•2cosα）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4$\sqrt{3}$sin2α+4-40×$\frac{1-cos2α}{2}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4$\sqrt{3}$sin2α+20cos2α-16）
=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$sin2α+5cos2α-4）
=$\sqrt{3}$[2$\sqrt{7}$（$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$sin2α+$\frac{5}{2\sqrt{7}}$cos2α-4]
令cosβ$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，sinβ=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，
则S=$\sqrt{3}$[2$\sqrt{7}$sin（2α+β）-4]，
∴当sin（2α+β）=1时，S取得最大值，
此时S=$\sqrt{3}$（2$\sqrt{7}$-4）=2$\sqrt{21}$-4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的应用问题，根据条件求出梯形的上底，下底，高结合梯形的面积公式，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．