Question

4．若$\frac{sin（2α-\frac{π}{3}）+cos（2α-\frac{π}{6}）}{sin2α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2}{5}$，则tan（$\frac{π}{4}$+α）=2．

Answer 1

分析 先根据两角和差的正弦、余弦公式，以及同角的三角函数的关系和二倍角公式求出tanα=$\frac{1}{3}$，再根据两角和的正切公式即可求出．

解答 解：∵sin（2α-$\frac{π}{3}$）+cos（2α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α+$\frac{1}{2}$sin2α=sin2α
∴$\frac{sin（2α-\frac{π}{3}）+cos（2α-\frac{π}{6}）}{sin2α+co{s}^{2}α}$=$\frac{sin2α}{sin2α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα}{2sinαcosα+co{s}^{2}α}$=$\frac{2}{2+\frac{1}{tanα}}$=$\frac{2}{5}$，
∴tanα=$\frac{1}{3}$，
∴tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了两角和差的正弦、余弦、正切公式，以及同角的三角函数的关系和二倍角公式，属于基础题．