Question

f（x）=mx-alnx-m，g（x）=

ex

ex

，其中m，a均为实数．
（1）求g（x）的极值．
（2）设a=-1，若函数h（x）=f（x）+xe^x+1•g（x）-m²lnx是增函数，求m的取值范围．
（3）设a=2，若对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t₁，t₂（t₁≠t₂），使得f（t₁）=f（t₂）=g（x_m），求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．
（2）由题意可得h′(x)=2x+m+

1-m2

x

=

2x2+mx+1-m2

x

≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，讨论二次函数在（0，+∞）上的单调性即可得出结论；
（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．

解答： 解：（1）g′(x)=

e(1-x)

ex

，令g（x）=0，得x=1当x∈（0，1）时，
g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∵g（1）=1
∴y=g（x）的极大值为1，无极小值．
（2）因为a=-1，由题意，h（x）=x²+m（x-1）+（1-m²）lnx是增函数，
h′(x)=2x+m+

1-m2

x

=

2x2+mx+1-m2

x

≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
当-

m

4

≤0时，只需1-m²≥0，即0≤m≤1，当-

m

4

＞0时，只需1-m2-

m2

8

≥0，即-

2 2

3

≤m＜0综上得，-

2 2

3

≤m≤1．
（3）由（1）知，当x∈（0，e]时，g（x）∈（0，1]，
由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，在区间（0，e]上存在t₁，t₂（t₁≠t₂）与该值对应．
a=2时，f(x)=m(x-1)-2lnx，f′(x)=m-

2

x

=

mx-2

x

，
当m=0时，f′(x)=-

2

x

＜0，f（x）单调递减，不合题意，当m≠0时，x=

2

m

时，f'（x）=0，由题意，
f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，0＜

2

m

＜e，
当x∈(0，

2

m

]时，f'（x）＜0，当(

2

m

，+∞)时，f'（x）＞0所以，
当x∈（0，e]时，fmin(x)=f(

2

m

)=2-m-2ln

2

m

，
由题意，只需满足以下三个条件：①fmin(x)=f(

2

m

)=2-m-2ln

2

m

＜0②f（e）=m（e-1）-2≥1③?x0∈(0，

2

m

)使f（x₀）＞1
∵f(

2

m

)≤f(1)=0，所以①成立．由②f（x）=m（x-1）-2lnx→+∞，所以③满足，
所以当m满足

0＜ 2 m ＜e m≥ 3 e-1

即m≥

3

e-1

时，符合题意，故，m的取值范围为[

3

e-1

，+∞)．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生的等价转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．