Question

给定a_n=log_n+1（n+2）（n∈N*），定义a₁•a₂…a_k为整数k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2009]内所有希望数的和为

2026

．

Answer 1

分析：注意到a₁，a₂，…a_k各项底数不同，可以根据换底公式：logaN=

logbN

logba

，实现a₁•a₂…a_k的化简，转化为

lg(k+2)

lg2

，且为整数，即k+2=2^m，k=2^m_-2
 m∈Z，令m=1，2，3，…，，可逐个求得区间[1，2009]内的所有希望数，再求和．

解答：解：根据换底公式 logaN=

logbN

logba

．
得a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

为整数，
∴k+2=2^m，m∈Z．k=2^m_-2
 k分别可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和为2²+2³+…+2¹⁰-18=2026．
故答案为：2026．

点评：本题考查 对数换底公式的应用，数列求和，关键是把a₁•a₂…a_k化简，再转化为指数形式，探求希望数．