Question

若函数f（x）=-

1

b

e^ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x²+y²=1相切，则a+b的最大值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,圆的切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：求导数，求出切线方程，利用切线与圆x²+y²=1相切，可得a²+b²=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．

解答： 解：求导数，可得f′（x）=-

a

b

eax
令x=0，则f′（0）=-

a

b

又f（0）=-

1

b

，则切线方程为y+

1

b

=-

a

b

x，即ax+by+1=0
∵切线与圆x²+y²=1相切，
∴

1

a2+b2

=1
∴a²+b²=1
∵a＞0，b＞0
∴2（a²+b²）≥（a+b）²
∴a+b≤

2

∴a+b的最大值是

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查导数的几何意义，考查直线与圆相切，考查基本不等式的运用，属于中档题．