Question

已知关于x的二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N⁺）的两根α，β满足6α-2αβ+6β=3，且a₁=1．
（1）试用a_n表示a_n+1
（2）求证：{a_n-

2

3

}是等比数列
（3）求数列的通项公式a_n
（4）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由一元二次方程根与系数关系求得α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，代入6α-2αβ+6β=3后整理得答案；
（2）把（1）中的递推式变形，整理得到{a_n-

2

3

}是等比数列；
（3）求出（2）中等比数列的通项公式，进一步得到数列的通项公式a_n；
（4）把数列{a_n}的前n项和转化为一个等比数列的前n项和与一个常数列的前n项和，则答案可求．

解答： （1）解：∵α，β是二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N⁺）的两根，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

．
代入6α-2αβ+6β=3，得6•

an+1

an

-2

1

an

-3=0．
整理得：an+1=

1

2

an+

1

3

；
（2）由an+1=

1

2

an+

1

3

，得
an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，
∴

an+1- 2 3

an- 2 3

=

1

2

．
∴{a_n-

2

3

}是等比数列；
（3）∵{a_n-

2

3

}是等比数列，
且a1-

2

3

═1-

2

3

=

1

3

，
∴an-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，
an=

1

3

•(

1

2

)n-1+

2

3

；
（4）∵an=

1

3

•(

1

2

)n-1+

2

3

，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

1

3

[

1-( 1 2 )n

1- 1 2

]+

2n

3

=

2n+2

3

-

2

3

•(

1

2

)n．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，考查了一元二次方程的根与系数关系，是中档题．