【题目】已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0.当直线l被圆C截得的弦长为 时,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意可得圆心C(a,2),半径r=2, 则圆心到直线l:x﹣y+3=0的距离 ,
由勾股定理可知 ,代入化简得|a+1|=2,
解得a=1或a=﹣3,
又a>0,所以a=1;
(Ⅱ)由(1)知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圆心坐标为(1,2),圆的半径r=2
由(3,5)到圆心的距离为 =
>r=2,得到(3,5)在圆外,
∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为y﹣5=k(x﹣3)
由圆心到切线的距离d= =r=2,
化简得:12k=5,可解得 ,
∴切线方程为5x﹣12y+45=0;
②当过(3,5)斜率不存在直线方程为x=3与圆相切.
由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3
【解析】(Ⅰ)根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,然后根据垂径定理得到弦心距,弦的一半及圆的半径成直角三角形,利用勾股对了列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到满足题意a的值;(Ⅱ)把(Ⅰ)求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程,即可得到圆心的坐标,并判断得到已知点在圆外,分两种情况:当切线的斜率不存在时,得到x=3为圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,由(3,5)和设出的k写出切线的方程,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径即可列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.综上,得到所有满足题意的切线的方程.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设不等式组 所表示的平面区域是W,从区域W中随机取点M(x,y).
(1)若x,y∈Z,求点M位于第一象限的概率;
(2)若x,y∈R,求|OM|≥1的概率.
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【题目】设函数的定义域为
,如果存在正实数
,使得对任意
,都有
,且
恒成立,则称函数
为
上的“
的型增函数”,已知
是定义在
上的奇函数,且在
时,
,若
为
上的“2017的型增函数”,则实数
的取值范围是__________.
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【题目】已知曲线y=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)上的一个最高点的坐标为( ,
),由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(
π,0),φ∈(﹣
,
).
(1)求这条曲线的函数解析式;
(2)求函数的单调增区间.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=4an﹣3(n∈N*).
(Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
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【题目】在如图所示直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2DC=4,画出该梯形的直观图A′B′C′D′,并写出其做法(要求保留作图过程的痕迹.)
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【题目】假设小明订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到,小明离家的时间在早上7:00—8:00之间,则他在离开家之前能拿到报纸的概率( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知以点A(﹣1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(﹣2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点
(1)求圆A的方程.
(2)当|MN|=2 时,求直线l方程.
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