Question

11．正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k，证明：aB+bC+cA＜k²．

Answer 1

分析 作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S_△LRM+S_△MPN+S_△NQL＜S_△PQB，即可证明结论．

解答 证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．
显然有S_△LRM+S_△MPN+S_△NQL＜S_△PQB，
即$\frac{1}{2}$aBsin60°+$\frac{1}{2}$bCsin60°+$\frac{1}{2}$cAsin60°＜$\frac{1}{2}$k²sin60°，
∴aB+bC+cA＜k²．

点评 本题考查不等式的证明，考查构造法的运用，属于中档题．