Question

【题目】己知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．

（1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值；

(2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

（1）由条件得到m=2k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．由弦长公式|AB|，代入整理，解得．

（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由条件结合韦达定理得到3m2=8k2+8．利用点O到直线AB的距离公式求得d2=，从而得到定值．

（1）因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).

设A(x1，y1)，B(x2，y2).

联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．

∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦长公式|AB|=，

代入整理得，解得k2=1.∴．

（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

∴ x1+x2=，x1x2=． 以AB为直径的圆过原点O，即．

∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将x1+x2=，x1x2=代入，

整理得3m2=8k2+8．设点O到直线AB的距离为d，

于是d2=， 故O到直线AB的距离是定值为．