Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？

Answer 1

分析：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．由线面平行的判定定理可以证出结论．用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全．
（2） 无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF，可建立空间坐标系设点E（x，1，0），求出两向量PE、AF的坐标，用内积为0证两线垂直．
（3）求出用E的坐标表示的平面PDE的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标．

解答：解：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．

（2）证明：建立如图所示空间直角坐标系，则
P（0，0，1），B（0，1，0），
F（0，

1

2

，

1

2

），D（

3

，0，0），
设BE=x（0≤x≤

3

），
则E（x，1，0），
；

PE

•

AF

=（x，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
∴PE⊥AF．

（3）设平面PDE的法向量为m=（p，q，1），
由

m• PD m• PE

，得m=（

1

3

，1-

x

3

，1）．
而

AP

=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°=

2

2

，
∴

1

1 3 +(1- x 3 )2+1

=

1

2

，
得BE=x=

3

-

2

或BE=x=

3

+

2

＞

3

（舍）．
故BE=

3

-

2

时，PA与平面PDE所成角为45°．

点评：考查用向量证明立体几何中的问题，此类题的做题步骤一般是先建立坐标系，设出坐标，用线的方向向量的内积为0证线线垂直，线面垂直，用线的方向向量与面的法向量的垂直证面面平行，两者的共线证明线面垂直．此处为一规律性较强的题，要注意梳理清楚思路．