Question

求函数y=sin(x+

π

6

)+sin(x-

π

6

)+cosx，x∈[0，π]的单调区间、最大值和最小值．

Answer 1

分析：把函数f（x）的解析式中前两项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后提取2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，由x的范围，得到这个角的范围，根据正弦函数的单调区间即可求出函数递增及递减时x的范围，即为函数f（x）的递增及递减区间；根据这个角的范围，由正弦函数的图象与性质可得正弦函数的最值，从而得到函数的最大值及最小值．

解答：解：f(x)=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

+cosx
=2sinxcos

π

6

+cosx
=

3

sinx+cosx
=2sin(x+

π

6

)，
由于x∈[0，π]，得到x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以sin（x+

π

6

）的递增区间为

π

6

≤x+

π

6

≤

π

2

，递减区间为

π

2

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
所以f（x）单调增区间为[0，

π

3

]，单调减区间为[

π

3

，π]；
∵sin（x+

π

6

）的最大值为1，最小值为-

1

2

，
∴函数f（x）的最大值为2，最小值为-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性以及正弦函数的最值，把函数解析式利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数是本题的突破点，同时熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．