Question

【题目】已知x＝1是函数f(x)＝ax3－x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的解析式为f(x)＝x3－x2＋2x＋5； （2）m的取值范围为

【解析】试题分析：（I）利用三次函数在极值点处的导数为零，即可解得a的值，进而确定函数的解析式；（II）将两曲线有三个交点问题，转化为函数g（x）=f（x）﹣（2x+m）有三个零点问题，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，找到问题的充要条件，列不等式即可解得m的范围

试题解析：

解：(1)依题意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，

由f′(1)＝0得a＝1，

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－x2＋2x＋5.

(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，

即x3－x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，

令g(x)＝x3－x2＋2x＋5－2x－m＝x3－x2＋5－m，则g(x)有三个零点．

由g′(x)＝x2－3x＝0得x＝0或x＝3.

令g′(x)>0得x<0或x>3；令g′(x)<0得0<x<3.

∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．

∴函数在x＝0处取得极大值，在x＝3处取得极小值．

要使g(x)有三个零点，只需 解得 <m<5.

∴实数m的取值范围为.