Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形∠PCA=90°，D是PA中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=2

3

．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求BD与平面ABC所成角．

Answer 1

分析：（1）欲证AC⊥BD，可证AC垂直于BD所在的平面，故取AC的中点E，并连接DE、BE，则问题得证．
（2）需确定∠DBE为BD与平面ABC所成角、∠BED为二面角P-AC-B的平面角，则在△BDE中两次利用余弦定理问题解决．

解答：（1）证明：取AC的中点E，并连接DE、BE，如图所示，
因为D是PA中点，E是AC的中点，所以DE∥PC，
又∠PCA=90°，即PC⊥AC，所以DE⊥AC，
且正三角形ABC中，BE⊥AC，
所以AC⊥平面BDE，又BD?平面BDE，
所以AC⊥BD．
（2）解：在平面BDE中作EF⊥BE，交BD于F，且EF⊥AC，BE∩AC=E，
所以EF⊥平面ABC，则∠FBE即∠DBE为BD与平面ABC所成角，
其中DE=2×

1

2

=1，BE=2

3

sin60°=3，
由AC⊥平面BDE知，∠BED为二面角P-AC-B的平面角，即∠BED=120°，
由余弦定理得，BD²=1+9-2×1×3cos120°=13，即BD=

13

，
所以cos∠DBE=

9+13-1

2×3× 13

=

7 13

26

，
所以∠DBE=arccos

7 13

26

．
即BD与平面ABC所成角为arccos

7 13

26

．

点评：本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及线面夹角的定义，同时考查余弦定理与空间想象能力．