【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ)证明:曲线与曲线
有唯一公共点.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可
法一:等价函数
零点的个数,由
,求导
,再次求导
,判定出单调性,
在
上是单调递增故
在
上有唯一的零点 法二:等价于曲线
与
的公共点的个数,当
时,两曲线有公共点,求导得函数单调性进行判定
解析:(Ⅰ)的反函数为
,设所求切线的斜率为k.
∵,∴
,于是在点(1,0)处的切线方程为
(Ⅱ)证法一:曲线
与曲线
公共点的个数等于函数
零点的个数
∵,∴
存在零点
…
又,令
,则
.
当时,
,∴
在
上单调递减;
当时,
,∴
在
上单调递增,
∴在
处有唯一的极小值
即在
上的最小值为
.
∴(当且仅当
时等号成立),
∴在
上是单调递增的,∴
在
上有唯一的零点,
故曲线与曲线
有唯一公共点
证法二:∵,
,
∴曲线与曲线
公共点的个数等于曲线
与
的公共点的个数
设,则
,即当
时,两曲线有公共点.
又(当且仅当
时等号成立),∴
在
上单调递减,∴
与
有唯一的公共点,
故曲线与曲线
有唯一公共点
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数).以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若过点的直线
与
交于
,
两点,与
交于
,
两点,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,左、右焦点分别为
、
,过
的直线交椭圆于
两点.
(1)若以为直径的圆内切于圆
,求椭圆的长轴长;
(2)当时,问在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?并说明理由.
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【题目】2017年8月20日起,市交警支队全面启动路口秩序环境综合治理,重点整治机动车不礼让斑马线和行人的行为,经过一段时间的治理,从市交警队数据库中调取了20个路口近三个月的车辆违章数据,经统计得如图所示的频率分布直方图,统计数据中凡违章车次超过30次的设为“重点关注路口”.
(1)现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤,求抽出来的路口的违章车次一个在,一个在
中的概率;
(2)现从支队派遣5位交警,每人选择一个路口执勤,每个路口至多1人,违章车次在的路口必须有交警去,违章车次在
的不需要交警过去,设去“重点关注路口”的交警人数为
,求
的分布列及数学期望.
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【题目】四棱锥中,
平面ABCD,
,
,BC//AD,已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角
的平面角大小为
,若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为
的两部分,则
=_______.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系
下的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是
,射线
:
与曲线
交于点
与直线
交于点
,求线段
的长.
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