Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.

(1)若以为直径的圆内切于圆，求椭圆的长轴长；

(2)当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 椭圆长轴长为6 (2) 在轴存在定点，使得为定值

【解析】试题分析：（1）根据图形的几何特点得到，两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径，，进而得到参数值a=3;(2)联立直线和椭圆得到二次方程，根据韦达定理得到，进而得到参数值.

解析：

(1)设的中点为，在三角形中，由中位线得：

.

当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径，即，

所以，椭圆长轴长为6.

(2)由已知，，，所以椭圆方程为.

当直线斜率存在时，设直线方程为.

设，，

由，得，

∴恒成立.

∴，，

，

设，

，

当即时为定值

当直线斜率不存在时，不妨设，，

当时，为定值.

综上：在轴存在定点，使得为定值.