【题目】已知函数,.
(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若对任意的,都有,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)分类讨论,详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)求导后,分别在、和三种情况下求得的正负,由此可确定单调性;
(Ⅱ)令,分别在、和三种情况下,利用导数确定单调性和最值,进而确定符合题意的取值范围.
(Ⅰ)由题意得:定义域为,
则,
①当时,
由可得:或;由可得:;
的单调增区间为,,单调递减区间为;
②当时,则,此时的单调递增区间为;
③当时,
由可得:或;由可得:;
的单调增区间为,,单调递减区间为;
综上所述:当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在,上单调递增,在上单调递减.
(Ⅱ)令,则,
,
①当时,令,解得:,,
,,
当时,,在上单调递增,
,满足题意;
②当时,由①知:,
当时,,在上单调递减,
则当时,,不合题意;
③当时,,则,在上单调递减,
当时,,不合题意;
综上所述:实数的取值范围为.
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【题目】在如图所示的四棱锥中,四边形为平行四边形,为边长为2的等边三角形,,点,分别为,的中点,是异面直线和的公垂线.
(1)证明:平面平面;
(2)记的重心为,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】为了解全市统考情况,从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩,频率分布直方图如下图所示.
(1)求这4000名考生的半均成绩(同一组中数据用该组区间中点作代表);
(2)由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布,其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差,那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少人?
(3)如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况,现从全市考生中随机抽取4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为,求.(精确到0.001)
附:①;
②,则;
③.
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【题目】保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只要交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金,保险公司把企业的所有岗位共分为三类工种,从事这三类工种的人数分别为12000,6000,2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率):
已知三类工种职工每人每年需交的保费分别为25元25元40元,出险后的赔偿金额分别为100万元100万元50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.
(1)设A类工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X(元),求X的数学期望;
(2)若该公司全员参加保险,求保险公司该业务所获利润的期望值;
(3)现有如下两个方案供企业选择:
方案1:企业不与保险公司合作,职工不交保险,若出意外,企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外职工,且企业开展这项工作每年还需另外固定支出12万元;
方案2:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的70%,职工个人负责保费的30%,出险后赔偿金由保险公司赔付,企业无额外专项开支.
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
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【题目】下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y和数学成绩x的散点图:
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,但图中有两个异常点A,B.经调查得知,A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常,B生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计量的值:
,,,,,其中,分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩,.y与x的相关系数.
(1)若不剔除A、B两名考生的数据,用44数据作回归分析,设此时y与x的相关系数为,试判断与r的大小关系,并说明理由;
(2)求y关于x的线性回归方程(系数精确到),并估计如果B考生参加了这次物理考试(已知B考生的数学成绩为125分),物理成绩是多少?(精确到个位).
附:回归方程中,.
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【题目】设抛物线的焦点为,直线与抛物线交于两点.
(1)若过点,且,求的斜率;
(2)若,且的斜率为,当时,求在轴上的截距的取值范围(用表示),并证明的平分线始终与轴平行.
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【题目】(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,,,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次,每次抽取张,将抽取的卡片上的数字依次记为,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,,不完全相同”的概率.
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