【题目】在如图所示的四棱锥中,四边形
为平行四边形,
为边长为2的等边三角形,
,点
,
分别为
,
的中点,
是异面直线
和
的公垂线.
(1)证明:平面平面
;
(2)记的重心为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)为
的中点,利用等边三角形的性质可得
,根据
是异面直线
与
的公垂线,可得
.可得
平面
.进而得出:平面
平面
.
(2)根据,
为中点,可得
,又
是异面直线
与
的公垂线,可得
,
可得:
平面
.建立如图所示的空间直角坐标系.设平面
的一个法向量为
,可得
,由
,
,
的坐标可得
的重心
.设直线
与平面
所成角为
,则
,
.
解:(1)证明:因为为
的中点,所以在等边
中,
又因为是异面直线
和
的公垂线,所以
又因为,
平面
,所以
平面
因为平面
,所以平面
平面
(2)因为、
为中点,所以
,又因为
是异面直线
和
的公垂线,
所以,
,所以
为等腰直角三角形
连接,
,
因为,
平面
,平面
平面
且平面
平面
所以平面
因此,以为原点,分别以
、
、
所在的直线为
、
、
轴建系如图所示:
则,
,
,
因为四边形为平行四边形,设
因为,所以
所以
设面的一个法向量为
,
由
令,则
,
,所以
因为,
,
,
所以的重心为
的坐标为
,
设直线与平面
所成角为
,则
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年,河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题.总体来说,二手房房价有所下降,相比二手房而言,新房市场依然强劲,价格持续升高.已知销售人员主要靠售房提成领取工资.现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示,若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定,则下列说法正确的是( )
A.月工资增长率最高的为8月份
B.该销售人员一年有6个月的工资超过4000元
C.由此图可以估计,该销售人员2020年6,7,8月的平均工资将会超过5000元
D.该销售人员这一年中的最低月工资为1900元
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点,
距离之比为常数
且
的点的轨迹是一个圆心在直线
上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下面的问题:如图,在长方体
中,
,点
在棱
上,
,动点
满足
.若点
在平面
内运动,则点
所形成的阿氏圆的半径为________;若点
在长方体
内部运动,
为棱
的中点,
为
的中点,则三棱锥
的体积的最小值为___________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某班主任利用周末时间对该班级年最后一次月考的语文作文分数进行统计,发现分数都位于
之间,现将所有分数情况分为
、
、
、
、
、
、
共七组,其频率分布直方图如图所示,已知
.
(1)求频率分布直方图中、
的值;
(2)求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数.(每组数据用该组区间中点值作为代表)
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