Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，、分别为棱、的中点，.

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的大小为45°，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明，得到答案.

（2）以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，面的法向量记为，面的法向量为，根据夹角得到，平面的法向量，计算得到答案.

（1）因为点为的中点，，，

所以四边形为平行四边形，即.

因为、分别为棱、的中点，.

，所以平面平面.

（2）如图所示

因为，，与为相交直线，所以平面，不妨设，则.

以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，，，，，

从而，，

面的法向量记为，则，可得，

令，则，，

又面的法向量为，二面角的大小为45°.

，解得，所以，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，可得：.

令，则，.所以.

设直线与平面所成角为，则.