Question

设函数f(x)＝，x≠0.

(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f(x)－1|＜a成立．

Answer 1

解析：(1)f′(x)＝＝，

令h(x)＝(x－1)e^x＋1，则h′(x)＝e^x＋e^x(x－1)＝xe^x，

当x＞0时，h′(x)＝xe^x＞0，∴h(x)是(0，＋∞)上的增函数，

所以h(x)＞h(0)＝0，

故f′(x)＝＞0，即函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数．

(2)|f(x)－1|＝，

当x＞0时，令g(x)＝e^x－x－1，则g′(x)＝e^x－1＞0，

故g(x)＞g(0)＝0，所以|f(x)－1|＝，

原不等式化为＜a，即e^x－(1＋a)x－1＜0，

令φ(x)＝e^x－(1＋a)x－1，则φ′(x)＝e^x－(1＋a)，

由φ′(x)＝0得：e^x＝1＋a，解得x＝ln(1＋a)，

当0＜x＜ln(1＋a)时，φ′(x)＜0；

当x＞ln(1＋a)时，φ′(x)＞0.

故当x＝ln(1＋a)时，φ(x)取得最小值φ(ln(1＋a))＝a－(1＋a)ln(1＋a)，

令s(a)＝－ln(1＋a)，a＞0则s′(a)＝＜0.故s(a)＜s(0)＝0，即φ(ln(1＋a))＝a－(1＋a)ln(1＋a)＜0.