Question

9．设命题p：x₁，x₂是方程x²+ax-1=0的两个实根，且不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|对任意的实数a∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]恒成立；命题q：f（x）=$\frac{x+2-m}{x-m}$在区间（-∞，3）上是减函数．
（1）若命题p的逆否命题为真，求实数m的取值范围；
（2）若p∧（￢q）为真，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意求出|x₁-x₂|的最大值，再解不等式，可得命题p为真时，m的范围，根据反比例型函数的图象和性质，求出命题q为真时，m的范围，
（1）若命题p的逆否命题为真，即命题p为真；
（2）若p∧（￢q）为真，则P为真，q为假；

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²+ax-1=0的两个实根
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=-1，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$
∴当a∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]时，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立．
可得：m²+5m-3≥3，
∴m≥1或m≤-6，
∴命题p为真命题时m≥1或m≤-6，
若f（x）=$\frac{x+2-m}{x-m}$=$\frac{2}{x-m}$+1在区间（-∞，3）上是减函数，
则m≥3，
∴命题q为真命题时m≥3，命题q为假命题时m＜3；
（1）若命题p的逆否命题为真，则命题p为真，
此时实数m的取值范围为m≥1或m≤-6，
（2）若p∧（￢q）为真，则P为真，q为假，
此时实数m的取值范围为1≤m＜3或m≤-6．

点评 本题主要考查了命题真假的判断的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．