Question

【题目】已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数 的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】根据题意，由于 为正数， 为二次函数，在区间 为减函数， 为增函数，函数 为增函数，分两种情况讨论：①当 时，有 在区间 上， 为减函数，且其值域为 ，函数 为增函数，其值域为 ，此时两个函数的图象有一个交点，符合题意；②当 时，有 ， 在区间 为减函数， 为增函数，函数 为增函数， 其值域为 ，若两个函数的图象有一个交点，则有
，解可得 或 ，由又 为正数，则 ，综合可得 的取值范围是 ，
所以答案是：B.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的零点与方程根的关系的相关知识，掌握二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．