Question

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，x∈R
（1）已知任意三次函数的图象为中心对称图形，若本题中的函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，求实数a和m的值
（2）若|a|＞1，求函数f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）解法一：由函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，取x=1，3，则f（1）+f（3）=2f（2），代入计算即可得到a，f（x），及m=f（2）；
解法二：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，可得f^′（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），l利用对称中心可得

1+a

2

=2，以下同解法一；
（2）利用导数的运算法则得到f^′（x），由|a|＞1，分类讨论a＞1与a＜-1，得到其单调性与极值，进而得到最值．

解答：解：（1）解法一：由函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，
则f（1）+f（3）=2f（2），代入计算得：3a-1+27-9a=8，∴a=3，
故f（x）=2x³-12x²+18x，
则m=f（2）=16-48+36=4
解法二：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，∴f'（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），
则a+12=2，则a=3，故f（x）=2x³-12x²+18x，
则m=f（2）=16-48+36=4
（2）由f'（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-a）（x-1），
因为|a|＞1，∴a＜-1或a＞1，讨论：
1．若a＜-1，如下表：

x	（0，1）	1	（1，2|a|）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	3a-1	↗

则此时f_min（x）=f（1）=3a-1．
若a＞1时，如下表：

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2|a|）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	3a-1	↘	3a2-a3	↗

由f（0）=0，f（a）=3a²-a³=a²（3-a），
i）当1＜a≤3时，f（a）≥f（0），则f_min（x）=f（0）=0；
ii）当a＞3时，f（a）＜f（0），则f_min（x）=f（a）=3a2-a3；

综上所述：f_min（x）=

3a-1，(a＜-1) 0，(1＜a≤3) 3a2-a3，(a＞3)

．

点评：本题综合考查了利用导数解决3次函数的中心对称性、单调性、极值与最值等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力．