Question

18．已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}（n＞2），令T_A={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n}，card（T_A）表示集合T_A中元素的个数．关于card（T_A）有下列两个命题
①若a₁，a₂，…，a_n（n＞2）可构成公差不为0的等差数列，则card（T_A）=2n-3；
②若a₁，a₂，…，a_n（n＞2）可构成公比不为1的等比数列，则$card（{T_A}）=\frac{1}{2}n（n-1）$．
其中，正确的是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ①②
• D． 都不正确

Answer 1

分析 ①若数列a₁，a₂，…，a_n，构成公差不为0的等差数列，表示出T_A，可得：card（T_A）=2n-3．
②若数列a₁，a₂，…，a_n，构成公比不为1的等比数列，表示出T_A，可得：card（T_A）=${C}_{n}^{2}$．

解答 解：①若数列a₁，a₂，…，a_n，构成公差不为0的等差数列，不妨令公差为d，
则A={a₁，a₁+d，…，a₁+（n-1）d}，
T_A={2a₁+d，2a₁+2d，2a₁+3d，…，2a₁+（2n-3）d}，
∴T_A中共2n-3个元素，
即card（T_A）=2n-3．
②若数列a₁，a₂，…，a_n，构成公比不为1的等比数列，不妨令公比为q，
则A={a₁，a₁q，…，a₁q^（n-1）}，
则A中任意两个元素的和均不相等，
故card（T_A）=${C}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}n（n-1）$，
故①②均正确，
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合元素的最大值问题，难度中档．